数学

三次方程式・四次方程式の解の公式を書き下してみる

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皆さんは、わけのわからない数式を見たときにワクワクしたりしませんか。僕はします。

ただ、僕の基準としては全く意味のない数式だとダメで、長くて重要な数式じゃないといけないんですね。

せっかくブログで数式が表現できるようになったので、それを使って長い数式を書き下してみます。

ブログ上で簡単に数式を表す方法についてはこちらの記事をご覧ください。

WordPressで最も簡単にLaTeX書式の数式を表現する方法(KaTeX)

というわけで、今回はタイトルの通り、代数方程式の解の公式を書き下してみます。

ちなみに、代数方程式とは、多項式=0の形で表される方程式のことです。

一次方程式

まずは一番簡単なものから行きましょう。一次方程式です。

ax+b=0 の解は、

x_1 = -\frac{b}{a}

まだ全くワクワクしませんね。

二次方程式

次は二次方程式です。中学で習うアレです。

ax^2+bx+c=0 の解は、

x_1 = \frac{-\sqrt{b^2-4 a c}-b}{2 a} x_2 = \frac{\sqrt{b^2-4a c}-b}{2 a}

ちょっとワクってきました。

三次方程式

ついに三次方程式です。

以下、 ax^3+bx^2+cx+d=0 の解です。


x_1 = -\frac{b}{3 a}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3\right)^2+4 \left(3 ac-b^2\right)^3}-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}-\frac{\sqrt[3]{2} \left(3 ac-b^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3\right)^2+4 \left(3 ac-b^2\right)^3}-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3}}
x_2 = -\frac{b}{3 a}-\frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\sqrt{\left(-27 a^2 d+9 a b c-2b^3\right)^2+4 \left(3 a c-b^2\right)^3}-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3}}{6 \sqrt[3]{2}a}+\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \left(3 a c-b^2\right)}{3\ 2^{2/3} a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3\right)^2+4 \left(3 a c-b^2\right)^3}-27a^2 d+9 a b c-2 b^3}}
x_3 = -\frac{b}{3 a}-\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\sqrt{\left(-27 a^2 d+9 a b c-2b^3\right)^2+4 \left(3 a c-b^2\right)^3}-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3}}{6 \sqrt[3]{2}a}+\frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \left(3 a c-b^2\right)}{3\ 2^{2/3} a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3\right)^2+4 \left(3 a c-b^2\right)^3}-27a^2 d+9 a b c-2 b^3}}


一気にすごいことになりましたね。オラ、ワクワクすっぞ。

四次方程式

最後は四次方程式です。

長くなりますが、以下は、 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 の解です。


x_1 = -\frac{b}{4 a}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{2 a^2}-\frac{-\frac{b^3}{a^3}+\frac{4 b c}{a^2}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}}-\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}-\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{4 c}{3 a}}
x_2 = -\frac{b}{4 a}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{2 a^2}-\frac{-\frac{b^3}{a^3}+\frac{4 b c}{a^2}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}}-\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}-\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{4 c}{3 a}}
x_3 = -\frac{b}{4 a}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{2 a^2}+\frac{-\frac{b^3}{a^3}+\frac{4 b c}{a^2}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}}-\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}-\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{4 c}{3 a}}
x_4 = -\frac{b}{4 a}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{2 a^2}+\frac{-\frac{b^3}{a^3}+\frac{4 b c}{a^2}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}}-\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}-\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{4 c}{3 a}}


う、▂▅▇█▓▒░(’ω’)░▒▓█▇▅▂うわああああああああ

五次方程式以上

五次方程式以上は、よく解けないだとか解の公式が存在しないだとか言われますが、そんなことはありません。

五次以上の方程式は、四則演算と累乗根を有限回使って解を表すことが出来ないだけで、他の数学的な道具や関数を使えば、解の公式自体は作ることは出来ます。

このことを数学では「代数的に解けない」と言います。

五次以上の方程式は代数的に解けないだけで、解の公式は存在します。

なので、いつか五次以上の方程式についても解の公式を書き下してみたいですね。

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