皆さんは、わけのわからない数式を見たときにワクワクしたりしませんか。僕はします。
ただ、僕の基準としては全く意味のない数式だとダメで、長くて重要な数式じゃないといけないんですね。
せっかくブログで数式が表現できるようになったので、それを使って長い数式を書き下してみます。
ブログ上で簡単に数式を表す方法についてはこちらの記事をご覧ください。
WordPressで最も簡単にLaTeX書式の数式を表現する方法（KaTeX）
というわけで、今回はタイトルの通り、代数方程式の解の公式を書き下してみます。
ちなみに、代数方程式とは、多項式=0の形で表される方程式のことです。
一次方程式
まずは一番簡単なものから行きましょう。一次方程式です。
[katex] ax+b=0 [/katex]の解は、
[katex display=true] x_1 = -\frac{b}{a} [/katex]
まだ全くワクワクしませんね。
二次方程式
次は二次方程式です。中学で習うアレです。
[katex] ax^2+bx+c=0 [/katex]の解は、
[katex display=true] x_1 = \frac{-\sqrt{b^2-4 a c}-b}{2 a} [/katex]
[katex display=true] x_2 = \frac{\sqrt{b^2-4a c}-b}{2 a} [/katex]
ちょっとワクってきました。
三次方程式
ついに三次方程式です。
以下、[katex] ax^3+bx^2+cx+d=0 [/katex]の解です。
[katex] x_1 = -\frac{b}{3 a}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3\right)^2+4 \left(3 ac-b^2\right)^3}-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}-\frac{\sqrt[3]{2} \left(3 ac-b^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3\right)^2+4 \left(3 ac-b^2\right)^3}-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3}} [/katex]
[katex] x_2 = -\frac{b}{3 a}-\frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\sqrt{\left(-27 a^2 d+9 a b c-2b^3\right)^2+4 \left(3 a c-b^2\right)^3}-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3}}{6 \sqrt[3]{2}a}+\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \left(3 a c-b^2\right)}{3\ 2^{2/3} a
\sqrt[3]{\sqrt{\left(-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3\right)^2+4 \left(3 a c-b^2\right)^3}-27a^2 d+9 a b c-2 b^3}} [/katex]
[katex] x_3 = -\frac{b}{3 a}-\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\sqrt{\left(-27 a^2 d+9 a b c-2b^3\right)^2+4 \left(3 a c-b^2\right)^3}-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3}}{6 \sqrt[3]{2}a}+\frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \left(3 a c-b^2\right)}{3\ 2^{2/3} a
\sqrt[3]{\sqrt{\left(-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3\right)^2+4 \left(3 a c-b^2\right)^3}-27a^2 d+9 a b c-2 b^3}} [/katex]
一気にすごいことになりましたね。オラ、ワクワクすっぞ。
四次方程式
最後は四次方程式です。
長くなりますが、以下は、[katex] ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 [/katex]の解です。
[katex] x_1 = -\frac{b}{4 a}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{2 a^2}-\frac{-\frac{b^3}{a^3}+\frac{4 b c}{a^2}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}}-\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}-\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{4 c}{3 a}} [/katex]
[katex]x_2 = -\frac{b}{4 a}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{2 a^2}-\frac{-\frac{b^3}{a^3}+\frac{4 b c}{a^2}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}}-\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}-\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{4 c}{3 a}}[/katex]
[katex] x_3 = -\frac{b}{4 a}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{2 a^2}+\frac{-\frac{b^3}{a^3}+\frac{4 b c}{a^2}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}}-\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}-\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{4 c}{3 a}} [/katex]
[katex] x_4 = -\frac{b}{4 a}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{2 a^2}+\frac{-\frac{b^3}{a^3}+\frac{4 b c}{a^2}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}+\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{2 c}{3 a}}}-\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}{3 \sqrt[3]{2} a}-\frac{\sqrt[3]{2} \left(12 a e-3 b d+c^2\right)}{3 a \sqrt[3]{\sqrt{\left(-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3\right)^2-4 \left(12 a e-3 b d+c^2\right)^3}-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3}}-\frac{4 c}{3 a}} [/katex]
う、▂▅▇█▓▒░(’ω’)░▒▓█▇▅▂うわああああああああ
五次方程式以上
五次方程式以上は、よく解けないだとか解の公式が存在しないだとか言われますが、そんなことはありません。
五次以上の方程式は、四則演算と累乗根を有限回使って解を表すことが出来ないだけで、他の数学的な道具や関数を使えば、解の公式自体は作ることは出来ます。
このことを数学では「代数的に解けない」と言います。
五次以上の方程式は代数的に解けないだけで、解の公式は存在します。
なので、いつか五次以上の方程式についても解の公式を書き下してみたいですね。
