数学

菱形十二面体 その14

投稿日:2020年8月20日 更新日:

これまでの記事


アユイ構成(Häuy Construction)という多面体の構成法がある。

この考案者のルネ=ジュスト・アユイは、18世紀のフランスの鉱物学者で、「鉱物学の父」と呼ばれている。

アユイは「結晶は小さなユニットの集まりで出来ている」という理論を提唱した。

その一例がアユイ構成である。以下でそれを紹介しよう。


アユイ構成では、多面体を立方体の集まりによって表現する。

一番簡単な例として、立方体を積み上げてピラミッドを作ることを考えよう。

9個の立方体を正方形状に並べて、その中心に1個立方体を積み上げると、次のように小さいピラミッドができる。

底面となる正方形をもっと大きくして、そこから階段状に積み上げていけば、次のようにしてより大きいピラミッドを作っていくことができる。

使う立方体の数をより多くしていけば、形はどんどん四角錐に近づいていく。

これは10段のときのピラミッドである。


さて、使った立方体の数を計算してみよう。

ピラミッドの段数をnとすると、使った立方体の数は

1^2+3^2+5^2+...+n^2

となるので、Σを使って表して計算すると、

\sum_{k=1}^{n} (2n-1)^2 \\ = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \\ = 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4\frac{n(n+1)}{2} + n \\ = \frac{n(4 n^2 - 1)}{3}

となる。

n=1, 2, 3,…を代入してみると、

1, 10, 35, 84, 165, 286, 455, 680, 969, 1330, ...

となる。したがって、先ほどの10段のピラミッドでは1330個の立方体が使われていたことが分かった。

菱形十二面体の話まで進まなかったが、今回はここまで!

-数学
-,

執筆者:


comment

メールアドレスが公開されることはありません。 が付いている欄は必須項目です

関連記事

菱形十二面体 その7

これまでの記事↓菱形十二面体菱形十二面体 その2菱形十二面体 その3菱形十二面体 その4菱形十二面体 その5菱形十二面体 その6 今回も菱形十二面体の話をしよう。 前回、菱形十二面体を各菱形の辺から中 …

菱形十二面体 その4

菱形十二面体菱形十二面体 その2菱形十二面体 その3 今回も菱形十二面体の話をしよう。 前回は、菱形十二面体の内部に立方体が隠れており、その残りの部分のピラミッドを6個集めると同じ大きさの立方体が組み …

四次元を「見る」方法 〜射影について〜

今までに菱形十二面体の記事をたくさん書いてきたが、菱形十二面体についてどうしても書きたいことがある。 それは、「菱形十二面体は4次元立方体の射影である」という事実である。 しかし、これについて書くため …

菱形十二面体 その8

これまでの記事↓菱形十二面体菱形十二面体 その2菱形十二面体 その3菱形十二面体 その4菱形十二面体 その5菱形十二面体 その6菱形十二面体 その7 今回は、菱形十二面体の空間充填について話をしよう。 …

菱形十二面体

今回から、多面体に関する記事を書いていく。 最初ということで、まずは僕の一番好きな多面体から紹介したい。 菱形十二面体である。 その名の通り、菱形が12枚集まることで構成されている。 頂点の座標表示の …